Непрерывность слева и справа. Точки разрыва функции и их классификация

Бесконечно малые последовательности

Определение 1: Бесконечно малой последовательностью называется такая последовательность, что для сколь угодно малой окрестности нуля, вне окрестности будет только счетное число элементов последовательности, а в самой окрестности бесконечное число элементов последовательности.

В дальнейшем мы будем применять свойства бесконечно малых последовательностей, поэтому перечислим несколько свойств и немного подробнее остановимся на каждом из них.

Свойства бесконечно малых

1) Бесконечно малая последовательность является ограниченной последовательностью.

Действительно, если бы она не была ограниченной, то вне достаточно малой окрестности нуля находилось бы бесконечное множество членов последовательности.

2) Любая конечная(конечное количество операций суммирования) сумма бесконечно малых последовательностей есть также бесконечно малая последовательность.

3) Произведение бесконечно малой последовательности на любую ограниченную последовательность или на любое конечное, отличное от нуля, число есть бесконечно малая последовательность.

4) Линейная комбинация счетного числа бесконечно малых последовательностей является бесконечно малой последовательностью.

Карта затоки с базами отдыха поможет найти подходящий и интересный отдых на жаркие летние деньки.

Бесконечно большие последовательности

Также очень тесно с понятием последовательности связано понятие бесконечно большой последовательности.

Определение 2: Бесконечно большой последовательностью называется такая последовательность, что для сколь угодно малой окрестности нуля, вне окрестности будет бесконечное число элементов последовательности , а в самой окрестности только счетное число элементов последовательности.

Оба рассмотренных определения вводятся и для функций с различными способами задания. Данные определения мы рассмотрим в последующих статьях.

5) Если какая-то последовательность является бесконечно малой, то последовательность

является бесконечно большой последовательностью.

Различные определения непрерывности функции в точке.

Определение 1 (основное) Функция y=fx называется непрерывной в точке x0∈Df, если предел функции при x→x0 равен значению функции в этой точке. limx→x0fx=f(x0)

Определение 2 (на языке ε-δ) Функция y=fx называется непрерывной в точке x0, если ε, δ>0, такое что ∀x∈Df∩(x-x0fx-f(x0)<ε.



Определение 3 (по Гейне, на языке последовательности) Функция y=fx называется непрерывной в точке x0, если для любой последовательности сходящейся к точке x0 соответствующая последовательность значений функции сходится к f(x0). ∀xn→x0=> f(xn)→f(x0)

Определение 4 (на языке приращений) Функция y=fx называется непрерывной в точке x0, если бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.

Непрерывность слева и справа. Точки разрыва функции и их классификация.

Опр. Пусть функция определена в некоторой окрестности точки х0, кроме, быть может, самой точки х0. Тогда х0 называется точкой разрыва функции, либо если функция не определена в самой точке х0, либо если она определена в этой точке, но не является в ней непрерывной.

Точка разрыва 1 рода, скачек, точка устранимого разрыва, конечного разрыва, 2 рода.

Свойства непрерывных функций (3). Если функция f непрерывна в точке х0, а функция g непрерывна в точке у0=f(х0), то и их композиция g(f(x)) непрерывна в точке х0. (Док-во: из непрерывности функции и существования предела композиции функций получим ). ).

15 Непрерывность функции на промежутке. Опр. Функция называется непрерывной на множестве, если она непрерывна в каждой точке множества.

1 Т Больцано-Коши. Если функция определена и непрерывна в замкнутом промежутке и на его концах принимает значения разных знаков, то на соответствующем интервале найдется точка, в которой функция обращается в нуль. /Док-во: для определенности определяем знаки. Метод половинного деления. Сходящаяся последовательность вложенных отрезков. Сходящие последовательности при ln→0, . Для любого n: и , , (по выбору. С другой стороны из непрерывности , ), f©=0/



2 Т Больцано-Коши. Пусть функция определена и непрерывна в некотором промежутке. Если в двух точках х=a и х=b функция принимает неравные значения, то, каково бы ни было число С, лежащее между А и В, найдется такая точка х=с между а и b, что f(c)=C. |Построим композицию |Замечание: условие непрерывности во всех точках отрезка является обязательным.

1 Т. Вейерштрасса. Если функция определена и непрерывна в замкнутом промежутке, то она ограничена. /Док-во от противного. Пусть функция не ограничена сверху. . По теореме Больцано-Вейерштрасса ограниченная последовательность содержит сходящуюся подпоследовательность . , . Т.к. функция непрерывна, то , но по предположению . Противоречие./

2 Т Вейерштрасса. Если функция определена и непрерывна в замкнутом промежутке, то она достигает в этом промежутке своих точных верхней и нижней граней (наибольшего и наименьшего значений). /Пусть . Показать, что .

Пусть (), т.к. верхняя грань функции, то для любого х , в частности . Таким образом .

По теореме Больцано-Вейерштрасса ограниченная последовательность содержит сходящуюся подпоследовательность . , . Из следует . - подпоследовательность последовательности и , /

/ Пусть . Показать, что .

Док-во от противного. Предположим, что всегда , т.е. граница не достигается.

Рассмотрим вспомогательную функцию , по предположению функция непрерывна. Следовательно по 1 Т. Вейерштрасса ограничена: (M>0). , противоречие, т.к.

Пусть (), т.к. верхняя грань функции, то для любого х , в частности . Таким образом .

По теореме Больцано-Вейерштрасса ограниченная последовательность содержит сходящуюся подпоследовательность . , . Из следует . - подпоследовательность последовательности и , /


3047998202202930.html
3048036754830418.html
    PR.RU™